2530. Периметры некоторого равностороннего треугольника и правильного шестиугольника равны. Чему равно отношение их площадей?
Ответ. \frac{2}{3}
.
Указание. Правильный шестиугольник разбивается своими большими диагоналями на шесть равных равносторонних треугольников.
Решение. Пусть сторона правильного шестиугольника равна a
. Тогда его периметр равен 6a
, значит, сторона равностороннего треугольника равна 2a
, а его площадь равна \frac{(2a)^{2}\sqrt{3}}{4}=a^{2}\sqrt{3}
.
Правильный шестиугольник разбивается своими большими диагоналями на шесть равных равносторонних треугольников со стороной a
. Значит, его площадь равна 6\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}
. Следовательно, отношение площади треугольника к площади шестиугольника равно \frac{2}{3}
.
Источник: Тригг Ч. Задачи с изюминкой. — М.: Мир, 1975. — № 21, с. 16