2531. Точка O
лежит на отрезке AC
. Найдите геометрическое место точек M
, для которых \angle MOC=2\angle MAC
.
Ответ. Объединение окружности с центром O
радиуса OA
(без точки A
) и луча OC
(без точки O
).
Указание. Воспользуйтесь теоремой о внешнем угле треугольника.
Решение. Если точка M
из искомого геометрического места точек не лежит на прямой AO
, то из теоремы о внешнем угле треугольника следует что треугольник AOM
— равнобедренный (MO=OA
). Поэтому точка M
лежит на окружности с центром O
и радиусом OA
.
Обратно, для любой точки M\ne A
, лежащей на окружности с центром O
и радиусом OA
,
\angle MOC=2\angle MAC.
Если точка M
, отличная от O
, лежит на луче OC
, то
\angle MOC=2\angle MAC=0.
Источник: Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л. Прямые и кривые. — 2-е изд. — М.: Наука, 1978. — № 1.1, с. 12
Источник: Пособие по математике для поступающих в вузы / Под ред. Г. Н. Яковлева. — 3-е изд. — М.: Наука, 1988. — № 12, с. 432