2534. Даны окружность и точка A
. Найдите геометрическое место середин хорд, высекаемых данной окружностью на всевозможных прямых, проходящих через точку A
.
Ответ. Окружность или дуга окружности.
Указание. Из середины каждой из указанных хорд отрезок OA
виден под прямым углом.
Решение. Пусть O
— центр окружности, M
— середина одной из указанных хорд. Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде. Поэтому отрезок OA
виден из точки M
под прямым углом. Следовательно, середина каждой такой хорды лежит на окружности с диаметром OA
.
Если точка A
расположена внутри окружности, то искомое геометрическое место точек есть окружность с диаметром OA
.
Если точка A
лежит на окружности, то искомое геометрическое место точек есть есть окружность с диаметром OA
без точки A
.
Если точка A
расположена вне окружности, то искомое геометрическое место точек есть дуга окружности с диаметром OA
, состоящая из точек, лежащих внутри данной окружности.