2537. На окружности заданы две точки A
и B
. Проводятся всевозможные пары окружностей, касающихся внешним образом друг друга и касающихся внешним образом данной окружности в точках A
и B
. Какое множество образуют точки взаимного касания этих пар окружностей?
Указание. Пусть M
— одна из указанных точек, O
— центр данной окружности. Выразите угол AMB
через угол AOB
.
Решение. Пусть O
— центр данной окружности, O_{1}
и O_{2}
— центры указанных окружностей, касающихся данной в точках A
и B
соответственно, и касающихся между собой в точке M
. Тогда точки A
и B
лежат на сторонах OO_{1}
и OO_{2}
треугольника OO_{1}O_{2}
.
Обозначим
\angle O=\alpha,~\angle O_{1}=\beta,~\angle O_{2}=\gamma.
Тогда
\angle AMB=180^{\circ}-\angle O_{1}MA-\angle O_{2}MB=
=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)-\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Значит, из каждой точки M
отрезок AB
виден под одним и тем же углом 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
, а так как эти точки расположены по одну сторону от прямой AB
, то они лежат на дуге некоторой окружности S
. Концы P
и Q
этой дуги есть точки пересечения окружности S
с касательными к данной окружности, проведёнными через точки A
и B
.
Для любой точки M
этой дуги (кроме точек P
и Q
) можно построить две окружности, касающиеся между собой в точке M
, и касающиеся данной окружности в точках A
и B
.
Примечание. Точка G
пересечения указанных касательных есть центр окружности, на которой расположено найденное геометрическое место точек.
Источник: Яковлев Г. Н. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. — М.: Просвещение, 1992. — № 136, с. 250
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1987-88, XIV, III этап, 11 класс