2541. Дан треугольник ABC
. Найдите на стороне AC
такую точку D
, чтобы периметр треугольника ABD
равнялся длине стороны BC
.
Указание. Отложите на луче DC
отрезок, равный отрезку DB
.
Решение. Предположим, что нужная точка D
построена. На луче DC
отложим отрезок DB_{1}
, равный отрезку DB
. Тогда в треугольнике BAB_{1}
известны две стороны (AB
и AB_{1}=AD+DB_{1}=AD+DB=BC-AB
) и угол между ними (угол A
треугольника ABC
).
Поскольку треугольник DBB_{1}
равнобедренный, то серединный перпендикуляр к его стороне BB_{1}
пересекает сторону AC
в искомой точке D
.
Поскольку AD+BD\gt AB
, то BC=AD+BD+AB\gt2AB
. Таким образом, задача имеет решение (причём единственное), если BC\gt2AB
.