2541. Дан треугольник ABC
. Найдите на стороне AC
такую точку D
, чтобы периметр треугольника ABD
равнялся длине стороны BC
.
Указание. Отложите на луче DC
отрезок, равный отрезку DB
.
Решение. Предположим, что нужная точка D
построена. На луче DC
отложим отрезок DB_{1}
, равный отрезку DB
. Тогда в треугольнике BAB_{1}
известны две стороны (AB
и AB_{1}=AD+DB_{1}=AD+DB=BC-AB
) и угол между ними (угол A
треугольника ABC
).
Поскольку треугольник DBB_{1}
равнобедренный, то серединный перпендикуляр к его стороне BB_{1}
пересекает сторону AC
в искомой точке D
.
Поскольку AD+BD\gt AB
, то BC=AD+BD+AB\gt2AB
. Таким образом, задача имеет решение (причём единственное), если BC\gt2AB
.
Автор: Охитин С. В.
Источник: Журнал «Квант». — 1976, № 4, с. 30, М377
Источник: Задачник «Кванта». — М377
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 8.41, с. 203
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 8.41, с. 200