2547. На плоскости даны две прямые и точка M
. Найдите на одной из прямых точку X
такую, что отрезок MX
делится другой прямой пополам.
Указание. Через точку M
проведите прямую, параллельную одной из данных прямых.
Решение. Пусть данные прямые l
и m
пересекаются в точке O
, а точка M
не лежит ни на одной из них (рис. 1). Через точку M
проведём прямую, параллельную прямой l
. Пусть проведённая прямая пересекает прямую m
в точке A
. Тогда искомая точка X
— это точка пересечения прямой, проходящей через середину отрезка OA
и точку M
, с прямой l
. В этом случае задача имеет два решения. Если точка M
лежит на одной из данных прямых, решений нет.
Если данные прямые параллельны (рис. 2), то задача имеет либо бесконечное число решений (в случае, когда точка M
удалена от одной из прямых на расстояние, вдвое большее, чем от другой), либо ни одного (в остальных случаях).
Источник: Журнал «Квант». — 1992, № 10, с. 36, задача 3