2548. Дана полуокружность с диаметром AB
. С помощью циркуля и линейки постройте хорду MN
, параллельную AB
, так, чтобы трапеция AMNB
была описанной.
Указание. Пусть P
— проекция точки N
на AB
. Выразите AP
через AB
.
Решение. Предположим, что нужная трапеция AMNB
построена. Пусть P
— проекция вершины N
на AB
(рис. 1). Тогда
AP=\frac{MN+AB}{2}=\frac{AM+BN}{2}=BN
(трапеция AMNB
— равнобедренная, так как она вписана в окружность).
С другой стороны, поскольку треугольник ANB
прямоугольный, то
AP^{2}=BN^{2}=AB\cdot BP=AB(AB-AP),~\mbox{или}~AP^{2}+AP\cdot AB-AB^{2}=0.
Отсюда находим, что AP=AB\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{2}
.
Для построения искомого отрезка AP
(рис. 2) на перпендикуляре, к данному отрезку AB
, проходящем через точку B
, отложим отрезок BD
, равный \frac{1}{2}AB
, и на луче DA
отложим отрезок DE
, равный BD
. Тогда
AE=AD-DE=\sqrt{AB^{2}+\frac{AB^{2}}{4}}-\frac{1}{2}AB=AB\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}AB=AB\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{2}.
На отрезке AB
отметим такую точку P
, что AP=AE
. Тогда перпендикуляр к AB
, проведённый через точку P
, пересекает данную полуокружность в точке N
— вершине искомой трапеции.