2550. Даны отрезки a
и b
. Постройте такой отрезок x
, что
\sqrt[{4}]{{x}}=\sqrt[{4}]{{a}}+\sqrt[{4}]{{b}}.
Указание. Пусть c
— произвольный отрезок. Тогда
\sqrt[{4}]{{xc^{3}}}=\sqrt{c\sqrt{ac}}+\sqrt{c\sqrt{bc}}.
Решение. Пусть c
— произвольный отрезок. Обозначим
m=\sqrt[{4}]{{xc^{3}}}=\sqrt[{4}]{{ac^{3}}}+\sqrt[{4}]{{bc^{3}}}=\sqrt{c\sqrt{ac}}+\sqrt{c\sqrt{bc}}.
Тогда отрезок m
можно построить как сумму средних геометрических известных отрезков.
Поскольку
x=\frac{m^{4}}{c^{3}}=\frac{\left(\frac{m^{2}}{c}\right)^{2}}{c},
то для построения отрезка x
достаточно построить сначала такой отрезок n
, что n=\frac{m^{2}}{c}
(или \frac{n}{m}=\frac{m}{c}
), а затем — отрезок x
, равный \frac{n^{2}}{c}
(\frac{x}{n}=\frac{n}{c}
).