2552. Докажите, что разность квадратов соседних сторон параллелограмма меньше произведения его диагоналей.
Решение. Пусть ABCD
— параллелограмм. Тогда
AC\cdot BD\gt|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}|=|(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB})|=
=|\overrightarrow{BC}^{2}-\overrightarrow{AB}^{2}|=|BC^{2}-AB^{2}|\geqslant BC^{2}-AB^{2}.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1984, 10 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 84.33