2553. На сторонах AB
и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD
даны точки E
и H
соответственно. Докажите, что если треугольники ABH
и CDE
равновелики и AE:BE=DH:CH
, то прямая BC
параллельна прямой AD
.
Решение. Поскольку
\frac{S_{\triangle AEH}}{S_{\triangle BEH}}=\frac{AE}{BE}=\frac{DH}{CH}=\frac{S_{\triangle EDH}}{S_{\triangle ECH}},
то отрезок EH
делит площади треугольников ABH
и CDE
в одном и том же отношении, а так как эти площади равны, то S_{\triangle BEH}=S_{\triangle CEH}
, значит, высоты треугольников BEH
и CEH
также равны, т. е. точки B
и C
, лежащие по одну сторону от прямой EH
, равноудалены от этой прямой. Тогда BC\parallel EH
. Аналогично, AD\parallel EH
. Следовательно, BC\parallel AD
.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1984, 8-9 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 84.37