2556. Две точки, выбранные на противоположных сторонах прямоугольника, соединены отрезками с вершинами прямоугольника. Докажите, что площади семи частей, на которые разбился при этом прямоугольник, не могут оказаться все одинаковы.
Решение. Пусть точки M
и N
расположены на сторонах соответственно AB
и CD
прямоугольника ABCD
, отрезки MC
и BN
пересекаются в точке K
, а отрезки AN
и DM
— в точке L
.
Треугольники AMD
и AMN
равновелики, так как у них есть общая сторона AM
и общая высота, опущенная на сторону AM
, а так как треугольник AML
— общая часть этих треугольников, то равновелики и треугольники ALD
и MLN
. Треугольник MLN
— часть четырёхугольника MKNL
, поэтому
S_{\triangle ALD}=S_{\triangle MLN}\lt S_{MKNL}.
Отсюда следует утверждение задачи.