2558. Окружность с центром O
касается сторон угла в точках A
и B
. Через произвольную точку M
отрезка AB
, отличную от точек A
и B
, проведена прямая, перпендикулярная прямой OM
и пересекающая стороны угла в точках C
и D
. Докажите, что MC=MD
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Из точек M
и B
отрезок OD
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OD
. Вписанные в эту окружность углы MDO
и MBO
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle MDO=\angle MBO
. Аналогично, \angle MCO=\angle MAO
, значит,
\angle CDO=\angle MDO=\angle MBO=\angle ABO=
=\angle BAO=\angle MAO=\angle MCO=\angle DCO,
поэтому треугольник COD
— равнобедренный, его высота OM
является медианой. Следовательно, MC=MD
.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1985, 8 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 85.23
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2016, № 4, задача 4037, с. 182; 2016, № 5, задача OC221, с. 205
Источник: Балканская математическая олимпиада. — 2014