2563. На сторонах BC
и CD
квадрата ABCD
взяты точки K
и H
соответственно, причём KC=2KB
и HC=HD
. Докажите равенство углов AKB
и AKH
.
Решение. Пусть сторона квадрата равна 6a
. Тогда KB=2a
, KC=4a
, HC=HD=3a
.
Из прямоугольного треугольника KCH
по теореме Пифагора находим, что
KH=\sqrt{KC^{2}+HC^{2}}=\sqrt{16a^{2}+9a^{2}}=5a.
Продолжим отрезки KH
и AD
до пересечения в точке M
. Прямоугольные треугольники KCH
и MDH
равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому MH=KH=5a
и DM=KC=4a
, значит,
KM=KH+MH=10a,~AM=AD+DM=6a+4a=10a.
Треугольник AMK
— равнобедренный, следовательно,
\angle AKH=\angle AKM=\angle KAM=\angle AKB,
что и требовалось доказать.
