2566. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника ABCD
, делят его на четыре четырёхугольника одинакового периметра. Докажите, что ABCD
— параллелограмм.
Решение. Пусть K
, L
, M
и N
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
параллелограмма ABCD
, O
— точка пересечения отрезков KM
и LN
. Тогда KL
и MN
— средние линии треугольников ABC
и ADC
, значит, KL=\frac{1}{2}AC=MN
и KL\parallel AC\parallel MN
, поэтому KLMN
— параллелограмм. Его диагонали KM
и LN
делятся точкой пересечения O
пополам, т. е. KO=OM
и LO=ON
.
Из равенства периметров четырёхугольников OKBL
и OMCL
следует, что BK=CM
, поэтому AB=2BK=2CM=CD
. Аналогично, BC=AD
. Следовательно, ABCD
— параллелограмм.
Автор: Фомин Д. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1987, 7 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 87.13