2567. Имеется инструмент для геометрических построений на плоскости («угольник»), позволяющий делать следующее:
а) если даны две точки, то можно провести проходящую через них прямую;
б) если дана прямая и точка на ней, то можно восставить перпендикуляр к этой прямой в данной точке.
Как с помощью этого инструмента опустить перпендикуляр из данной точки на прямую, не проходящую через эту точку?
Решение. Первый способ. Пусть A
— данная точка, l
— данная прямая, не проходящая через точку A
. Возьмём на прямой l
точки B
и C
, проведём прямые AB
и AC
и восставим к ним перпендикуляры в точках B
и C
соответственно. Пусть эти перпендикуляры пересекаются в точке D
. Докажем, что проекции A'
и D'
точек A
и D
на прямую BC
симметричны относительно середины M
отрезка BC
.
Действительно, из точек B
и C
отрезок AD
виден из под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AD
. Проекция M
центра O
этой окружности на хорду BC
— середина BC
, а так как M
— проекция середины O
диаметра AD
, то M
— середина проекции A'D'
этого диаметра на BC
. Что и требовалось доказать.
Продолжим построение. Построим произвольный прямоугольник BCEF
и повторим для отрезка EF
и точки D
первоначальное построение, т. е. восставим перпендикуляры в точках E
и F
к прямым DE
и DF
. Пусть эти перпендикуляры пересекутся в точке G
. Тогда проекции D''
и G'
точек D
и G
на прямую EF
симметричны относительно середины N
отрезка EF
. Через точки A
и G
проведём прямую и докажем, что эта прямая — искомая.
Действительно, G'N=D''N=MD'=A'M
, следовательно, точки A
, A'
, G'
и G
лежат на одной прямой и эта прямая перпендикулярна данной прямой l
.
Второй способ. Известно, что если на плоскости даны две параллельные прямые, то можно через любую точку плоскости провести параллельную им прямую с помощью одной линейки. В нашем случае в качестве линейки используется «угольник».
Пусть A
— данная точка, l
— данная прямая, не проходящая через точку A
. Возьмём на прямой l
точки B
и C
, восставим в них перпендикуляры к прямой l
. Получим две параллельные прямые. Через точку A
проведём параллельную им третью прямую. Это и будет перпендикуляр к прямой l
, проходящий через точку A
.
Автор: Фомин Д. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1987, 7 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 87.18