2568. Дан треугольник ABC
. Точки A_{1}
и A_{2}
делят на три равные части сторону AC
, а точки B_{1}
и B_{2}
— сторону BC
. Докажите, что если углы A_{1}BA_{2}
и B_{1}AB_{2}
равны, то треугольник ABC
равнобедренный.
Решение. Предположим, что точки A_{1}
, A_{1}
, B_{1}
и B_{2}
расположены так, как отмечено на рисунке. Прямая A_{1}B_{1}
параллельна стороне AB
, так как \frac{CA_{1}}{CA}=\frac{CB_{1}}{CB}=\frac{2}{3}
. Аналогично, A_{2}B_{2}\parallel AB
.
Пусть M
и N
— середины отрезков AB_{2}
и BA_{2}
соответственно. Тогда MA_{1}
и NB_{1}
— средние линии треугольников AA_{2}B_{2}
и BA_{2}B_{2}
, поэтому MA_{1}\parallel A_{2}B_{2}\parallel AB
и NB_{1}\parallel A_{2}B_{2}\parallel AB
, значит, точки A_{1}
, M
, N
и B_{1}
лежат на одной прямой.
Отрезок MB_{1}
— средняя линия треугольника ABB_{2}
, поэтому MB_{1}=\frac{1}{2}AB
. Аналогично, NA_{1}=\frac{1}{2}AB
, значит, MB_{1}=NA_{1}
.
Треугольники AMB_{1}
и BNA_{1}
равны, по стороне (MB_{1}=NA_{1}
), противолежащему углу (\angle MAB_{1}=\angle NBA_{1}
) и высоте, проведённой из вершины этого угла (AB\parallel A_{1}B_{1}
), поэтому AB_{1}=BA_{1}
. Диагонали AB_{1}
и BA_{1}
трапеции AA_{1}B_{1}B
равны, значит, эта трапеция равнобедренная. Следовательно, и треугольник ABC
равнобедренный.