2569. В точках A
и B
пересечения двух окружностей касательные к этим окружностям взаимно перпендикулярны. Пусть M
— произвольная точка на одной из окружностей, лежащая внутри другой окружности. Продолжим отрезки AM
и BM
до пересечения в точках X
и Y
с окружностью, содержащей M
внутри себя. Докажите, что XY
— диаметр этой окружности.
Решение. Первый способ. Пусть точка M
лежит на окружности с центром O'
, а точки X
и Y
— на окружности с центром O
. Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, поэтому
\angle MO'B=2\angle MAB,~\angle MO'A=2\angle MBA,
значит,
\angle AO'B=2(\angle MAB+\angle MBA)=2(\angle XAB+\angle YBA).
По условию углы OBO'
и OAO'
равны по 90^{\circ}
, значит,
\angle AOB=180^{\circ}-\angle AO'B=180^{\circ}-2(\angle XAB+\angle YBA),
поэтому
\angle XOY=\angle XOB+\angle YOA+\angle AOB=2\angle XAB+2\angle YBA+\angle AOB=180^{\circ}.
Следовательно, XY
— диаметр окружности.
Второй способ. Пусть JB
— касательная к окружности, внутри которой находится точка M
, причём точки J
и X
расположены в разных полуплоскостях относительно прямой BY
. Пусть \angle JBY=\alpha
. По теореме об угле между касательной и хордой \angle BXY=\angle BAY=\alpha
.
Пусть BK
— касательная к окружности, на которой находится M
, причём точки K
и X
находятся в одной полуплоскости относительно прямой BY
. По условию \angle JBK=90^\circ
. По теореме об угле между касательной и хордой \angle KBX=\alpha
. Значит,
\angle YBX=\angle YBK+\angle KBX=\angle YBK+\angle YBJ=\angle JBK=90^\circ,
а это и означает, что XY
— диаметр.
Автор: Фомин Д. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1987, 9 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 87.27