2570. На сторонах AD
и CD
параллелограмма ABCD
с центром O
отмечены такие точки P
и Q
соответственно, что \angle AOP=\angle COQ=\angle ABC
.
а) Докажите, что \angle ABP=\angle CBQ
.
б) Докажите, что прямые AQ
и CP
пересекаются на описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. а) Из условия задачи следует, что
\angle CDA+\angle POC=\angle ABC+\angle POC=\angle AOP+\angle POC=180^{\circ}.
Следовательно, точки P
, O
, C
и D
лежат на одной окружности. Аналогично точки Q
, O
, A
и D
лежат на одной окружности. Значит,
CQ\cdot CD=CO\cdot CA=AO\cdot AC=AP\cdot AD,
т. е. AP:CQ=CD:AD=BA:BC
, поэтому треугольники BAP
и BCQ
подобны по равным углам BAP
и BCQ
и пропорциональным сторонам. Следовательно, \angle ABP=\angle CBQ
.
б) Вписанные углы OAQ
и ODQ
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle OAQ=\angle ODQ
. Аналогично \angle OCP=\angle ODP
. Пусть R
— точка пересечения AQ
и CP
. Тогда
\angle ABC+\angle ARC=\angle ADC+\angle ARC=\angle ODP+\angle ODQ+\angle ARC=
=\angle OCP+\angle OAQ+\angle ARC=180^{\circ}.
Следовательно, точки A
, B
, C
и R
лежат на одной окружности.
Примечание. Равенство AP:CQ=BA:BC
в п. а) можно доказать и по-другому. Треугольники ABC
и POA
подобны по двум углам, поэтому AP:AC=AO:BC
. Аналогично CQ:AC=CO:BA
. Поскольку AO=CO
, отсюда следует, что AP:CQ=BA:BC
. (Решение предложено Н. Шамаевым.)
Автор: Заславский А. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2014, LXXVII, 11 класс