2571. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
. Докажите, что
\frac{AB}{CD}+\frac{CD}{AB}+\frac{BC}{AD}+\frac{AD}{BC}\leqslant\frac{OA}{OC}+\frac{OC}{OA}+\frac{OB}{OD}+\frac{OD}{OB}.
Решение. Отношение высот треугольников ABD
и CBD
, опущенных на общее основание BD
, равно \frac{OA}{OC}
, значит, отношение площадей этих треугольников также равно \frac{AO}{OC}
.
С другой стороны,
\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle CBD}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin\angle BAD}{\frac{1}{2}BC\cdot CD\sin(180^{\circ}-\angle BAD)}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin\angle BAD}{\frac{1}{2}BC\cdot CD\sin\angle BAD}=\frac{AB\cdot AD}{BC\cdot CD},
значит, \frac{OA}{OC}=\frac{AB\cdot AD}{BC\cdot CD}
. Аналогично, \frac{OB}{OD}=\frac{AB\cdot BC}{AD\cdot CD}
, поэтому
\frac{OA}{OC}+\frac{OB}{OD}=\frac{AB\cdot AD}{BC\cdot CD}+\frac{AB\cdot BC}{AD\cdot CD}=\frac{AB}{CD}\left(\frac{AD}{BC}+\frac{BC}{AD}\right)\geqslant2\frac{AB}{CD}.
Аналогично,
\frac{OB}{OD}+\frac{OC}{OA}\geqslant2\frac{BC}{AD},~~\frac{OC}{OA}+\frac{OD}{OB}\geqslant2\frac{CD}{AB},~~\frac{OD}{OB}+\frac{OA}{OC}\geqslant2\frac{AD}{BC}.
Сложив эти четыре неравенства и разделив результат на 2, получим требуемое неравенство.
Автор: Назаров Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1987, заключительный тур, 10 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 87.57