2572. BB_{1}
и CC_{1}
— высоты остроугольного треугольника ABC
с углом A
, равным 30^{\circ}
; B_{2}
и C_{2}
— середины сторон AC
и AB
соответственно. Докажите, что отрезки B_{1}C_{2}
и B_{2}C_{1}
перпендикулярны.
Решение. В прямоугольном треугольнике ABB_{1}
катет BB_{1}
лежит против угла в 30^{\circ}
, значит, BB_{1}=\frac{1}{2}AB=BC_{2}
, поэтому треугольник BB_{1}C_{2}
— равнобедренный, а так как \angle B_{1}BC_{2}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}
, то он равносторонний. Аналогично, треугольник CC_{1}B_{2}
— равносторонний.
Пусть отрезки B_{1}C_{2}
и B_{2}C_{1}
пересекаются в точке O
. В четырёхугольнике AB_{2}OC_{2}
известно, что
\angle B_{2}AC_{2}=30^{\circ},~\angle AB_{2}O=180^{\circ}-\angle CB_{2}C_{1}=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ},~\angle AC_{2}O=180^{\circ}-\angle BC_{2}B_{1}=120^{\circ},
следовательно,
\angle B_{2}OC_{2}=360^{\circ}-30^{\circ}-120^{\circ}-120^{\circ}=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.