2573. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
построены внешним образом квадраты ABDE
и BCPG
. Оказалось, что прямая DG
параллельна прямой AC
. Докажите, что треугольник ABC
— равнобедренный.
Решение. Треугольники ABG
и DBC
равны по двум сторонами и углу между ними (AB=BD
, BG=BC
, \angle ABG=90^{\circ}+\angle ABC=\angle CBD
), значит, AG=CD
. Диагонали AG
и CD
трапеции ADGC
равны, поэтому трапеция равнобедренная, значит, \angle CAD=\angle ACG
. Тогда
\angle BAC=\angle CAD-\angle BAD=\angle CAD-45^{\circ}=\angle ACG-45^{\circ}=\angle ACG-\angle BCG=\angle ACB.
Следовательно, треугольник ABC
— равнобедренный.
Автор: Фомин Д. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1988, 9 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 88.26