2574. Прямая, содержащая сторону AC
остроугольного треугольника ABC
, симметрично отражается относительно прямых AB
и BC
. Две полученные прямые пересекаются в точке K
. Докажите, что прямая BK
проходит через точку O
— центр описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Первый способ. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ACB=\gamma
. Тогда
\angle CAK=180^{\circ}-2\angle BAC=180^{\circ}-2\alpha,~\angle ACK=180^{\circ}-2\angle ACB=180^{\circ}-2\gamma,
\angle AKC=180^{\circ}-(180^{\circ}-2\alpha)-(180^{\circ}-2\gamma)=2\alpha+2\gamma-180^{\circ}.
Биссектрисы внешних углов при вершинах A
и C
треугольника AKC
пересекаются в точке B
, значит, KB
— биссектриса угла AKC
, поэтому
\angle AKB=\frac{1}{2}\angle AKC=\alpha+\gamma-90^{\circ},
\angle ABK=180^{\circ}-\angle AKB-\angle BAK=180^{\circ}-(\alpha+\gamma-90^{\circ})-(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\gamma.
С другой стороны, AOB
— центральный угол описанной окружности треугольника ABC
, поэтому \angle AOB=2\angle ACB=2\gamma
. Из равнобедренного треугольника AOB
находим, что
\angle ABO=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOB=90^{\circ}-\gamma=\angle ABK.
Следовательно, точка O
лежит на луче BK
.
Второй способ (Е.Аникин). Пусть прямая, проходящая через вершину B
, пересекается с прямыми AK
и CK
в точках M
и N
соответственно. Тогда
\angle ABM=\angle CAB=\angle BAM,~\angle CBN=\angle ACB=\angle BCN,
значит, треугольники ABM
и CBN
— равнобедренные. Их высоты, проведённые из вершин M
и N
, являются серединными перпендикулярами к сторонам AB
и BC
треугольника ABC
, а значит, пересекаются в центре O
описанной окружности этого треугольника.
С другой стороны, биссектрисы внешних углов при вершинах A
и C
треугольника AKC
пересекаются в точке B
, значит, KB
— биссектриса угла AKC
, а так как MO
и NO
— также биссектрисы углов этого треугольника (треугольники ABM
и CBN
— равнобедренные), то точка O
их пересечения лежит на KB
.
Автор: Протасов В. Ю.
Источник: Турнир городов. — 1987-1988, IX, весенний тур, младшие классы, основной вариант
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1988, заключительный тур, 8 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 88.37