2575. В квадрате ABCD
на сторонах AB
и CD
взяты точки M
и N
. Отрезки CM
и BN
пересекаются в точке P
, а отрезки AN
и DM
— в точке Q
. Докажите, что PQ\geqslant\frac{1}{2}AB
.
Решение. Пусть прямая, проходящая через точку P
параллельно AB
, пересекает отрезки BC
и MN
в точках P'
и P''
соответственно. Тогда отрезок P'P''
проходит через точку пересечения диагоналей трапеции BMNC
и параллелен её основаниям, значит, P
— середина P'P''
, а так как P'P''\leqslant\frac{1}{2}(BM+CN)
, то PP'\leqslant\frac{1}{4}(BM+CN)
.
Аналогично, если прямая, проходящая через точку Q
параллельно AB
, пересекает отрезки MN
и AD
в точках Q'
и Q''
соответственно, то QQ'\leqslant\frac{1}{4}(AM+DN)
. Тогда
PP'+QQ'\leqslant\frac{1}{4}(BM+CN)+\frac{1}{4}(AM+DN)=\frac{1}{4}(BM+AM+CN+DN)=\frac{1}{4}(AB+CD)=\frac{1}{2}AB,
а так как PP'+PQ+QQ'\geqslant AB
, то
PQ\geqslant AB-PP'-QQ'\geqslant AB-\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AB.
Что и требовалось доказать.
Автор: Назаров Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1988, заключительный тур, 9 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 88.49