2580. Внутри треугольника ABC
взята точка M
, для которой \angle BMC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC
, а прямая AM
содержит центр окружности, описанной около треугольника BMC
. Докажите, что M
— центр вписанной окружности треугольника ABC
.
Указание. Докажите, что центр описанной окружности треугольника BMC
лежит на описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника BMC
. Продолжим отрезок AM
за точку M
до пересечения с этой окружностью в точке P
.
Если \angle BAC=2\alpha
, то
\angle BMC=90^{\circ}+\alpha.
Поскольку \angle BMC
и \angle BPC
— противоположные углы вписанного четырёхугольника BMCP
, а \angle BOC
— центральный угол, то
\angle BOC=2\angle BPC=2(180^{\circ}-\angle BMC)=2(180^{\circ}-(90^{\circ}+\alpha))=2(90^{\circ}-\alpha)=180^{\circ}-2\alpha.
Значит,
\angle BOC+\angle BAC=180^{\circ},
поэтому точка O
лежит на описанной окружности треугольника ABC
. Следовательно, \angle ABC=\angle AOC
.
Поскольку OP=OC
, \angle OPC=\angle OCP
, а AOC
— внешний угол равнобедренного треугольника COP
, то
\angle ABC=\angle AOC=2\angle OPC=2\angle MPC=2\angle MBC.
Значит, точка M
лежит на биссектрисе угла ABC
.
Аналогично докажем, что точка M
лежит на биссектрисе угла ACB
. Следовательно, M
— центр вписанной окружности треугольника ABC
.
Источник: Турнир городов. — 1987-1988, X, весенний тур, старшие классы, основной вариант
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1989, заключительный тур, 8 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 89.48