2582. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
угол B
— прямой, а диагональ AC
является биссектрисой угла A
и равна стороне AD
. В треугольнике ADC
провели высоту DH
. Докажите, что прямая BH
делит отрезок CD
пополам.
Решение. Обозначим \angle BAC=\angle DAC=\alpha
. Прямоугольные треугольники AHD
и ABC
равны по гипотенузе (AD=AC
) и острому углу (AC
— биссектриса угла BAD
), поэтому AH=AB
, т. е. треугольник ABH
равнобедренный, значит, \angle AHB=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
, а так как треугольник CAD
также равнобедренный, то \angle ACD=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=\angle AHB
.
Пусть прямые BH
и CD
пересекается в точке K
. Тогда
\angle CHK=\angle AHB=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=\angle ACD,
значит, треугольник CHK
также равнобедренный. Серединный перпендикуляр к его стороне CH
параллелен DH
и пересекает отрезок CD
в точке K
, следовательно, K
— середина CD
.
Автор: Итенберг И. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1990, 9 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 90.24