2583. Две окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
пересекаются в точках A
и B
. Окружность, проходящая через точки O_{1}
, B
и O_{2}
пересекает вторую окружность также и в точке P
. Докажите, что точки O_{1}
, A
и P
лежат на одной прямой.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на чертеже. Пусть прямая O_{1}A
вторично пересекает окружность с центром O_{2}
в точке P'
. Тогда
\angle AP'O_{2}=\angle O_{2}AP'=180^{\circ}-\angle O_{1}AO_{2}=180^{\circ}-\angle O_{1}BO_{2},
значит, четырёхугольник O_{1}P'O_{2}B
— вписанный, т. е. точка P'
лежит на окружности, проходящей через точки O_{1}
, B
и O_{2}
. Отсюда следует утверждение задачи.
Аналогично для любого другого расположения данных окружностей.
Автор: Фомин Д. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1991, 10 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 91.29