2584. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
выбраны соответственно точки X
и Y
так, что \angle AXY=2\angle ACB
, \angle CYX=2\angle BAC
. Докажите неравенство
\frac{S_{AXYC}}{S_{\triangle ABC}}\leqslant\frac{AX^{2}+XY^{2}+YC^{2}}{AC^{2}}.
Решение. Пусть биссектрисы углов AXY
и CYX
пересекают прямую AC
в точках F
и L
соответственно и пересекаются в точке D
.
Заметим, что треугольники AFX
, YLC
и YXD
покрывают четырёхугольник AXYC
, а так как
\angle AXF=\frac{1}{2}\angle AXY=\angle ACB,~\angle CYL=\frac{1}{2}\angle CYX=\angle BAC,
то каждый из этих треугольников подобен треугольнику ABC
по двум углам, причём коэффициенты подобия равны \frac{AX}{AC}
, \frac{YC}{AC}
и \frac{XY}{AC}
соответственно. Значит,
\frac{S_{\triangle AFX}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AX^{2}}{AC^{2}},~\frac{S_{\triangle YLC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{YC^{2}}{AC^{2}},~\frac{S_{\triangle YXD}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{XY^{2}}{AC^{2}}.
Следовательно,
\frac{S_{AXYC}}{S_{\triangle ABC}}\leqslant\frac{S_{\triangle AFX}+S_{\triangle YLC}+S_{\triangle YXD}}{S_{\triangle ABC}}=
=\frac{\frac{AX^{2}}{AC^{2}}S_{\triangle ABC}+\frac{YC^{2}}{AC^{2}}S_{\triangle ABC}+\frac{YX^{2}}{AC^{2}}S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AX^{2}+XY^{2}+YC^{2}}{AC^{2}}.
Что и требовалось доказать.
Автор: Назаров Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1991, 11 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 91.40