2589. В треугольнике ABC
на стороне AB
выбрана точка D
, отличная от B
, причём \frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}
. Докажите, что угол C
— тупой.
Указание. Примените теорему синусов (или через точку B
проведите прямую, параллельную CD
и рассмотрите подобные треугольники).
Решение. Первый способ. Теорема синусов, применённая к треугольникам ABC
и ADC
, даёт
\frac{AD}{DC}=\frac{\sin\angle ACD}{\sin\angle DAC},~\frac{AB}{BC}=\frac{\sin\angle ACB}{\sin\angle BAC}.
Учитывая условие задачи и то, что углы DAC
и BAC
равны, получаем
\sin\angle ACD=\sin\angle ACB.
Поскольку \angle ACB\ne\angle ACD
, то последнее равенство означает, что сумма этих углов равна 180^{\circ}
. Значит, больший из них — угол ACB
— тупой.
Второй способ. Через вершину B
проведём прямую, параллельную CD
. Пусть эта прямая пересекает прямую AC
в точке K
. Поскольку точка D
лежит между A
и B
, то точка K
лежит на продолжении стороны AC
за точку C
. Из подобия треугольников ABK
и ADC
и условия задачи следует, что
\frac{AB}{BK}=\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}.
Значит, BK=BC
. Тогда ACB
— внешний угол равнобедренного треугольника BKC
, смежный с углом при основании CK
, а так как угол при основании равнобедренного треугольника — острый, то смежный с ним угол ACB
— тупой.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Турнир городов. — 1991-1992, XIII, осенний тур, старшие классы, тренировочный вариант
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 1991
Источник: Бугаенко В. О. Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике. — 2-е изд. — М.: ТЕИС, 1995. — № 7, с. 27
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1992, 9 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 92.26
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 9 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2020. — , № 3.41, с. 29