2589. В треугольнике ABC
на стороне AB
выбрана точка D
, отличная от B
, причём \frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}
. Докажите, что угол C
— тупой.
Указание. Примените теорему синусов (или через точку B
проведите прямую, параллельную CD
и рассмотрите подобные треугольники).
Решение. Первый способ. Теорема синусов, применённая к треугольникам ABC
и ADC
, даёт
\frac{AD}{DC}=\frac{\sin\angle ACD}{\sin\angle DAC},~\frac{AB}{BC}=\frac{\sin\angle ACB}{\sin\angle BAC}.
Учитывая условие задачи и то, что углы DAC
и BAC
равны, получаем
\sin\angle ACD=\sin\angle ACB.
Поскольку \angle ACB\ne\angle ACD
, то последнее равенство означает, что сумма этих углов равна 180^{\circ}
. Значит, больший из них — угол ACB
— тупой.
Второй способ. Через вершину B
проведём прямую, параллельную CD
. Пусть эта прямая пересекает прямую AC
в точке K
. Поскольку точка D
лежит между A
и B
, то точка K
лежит на продолжении стороны AC
за точку C
. Из подобия треугольников ABK
и ADC
и условия задачи следует, что
\frac{AB}{BK}=\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}.
Значит, BK=BC
. Тогда ACB
— внешний угол равнобедренного треугольника BKC
, смежный с углом при основании CK
, а так как угол при основании равнобедренного треугольника — острый, то смежный с ним угол ACB
— тупой.