2590. К окружностям с центрами O_{1}
и O_{2}
проведены общие внешние касательные AB
и CD
(A
и D
на первой окружности, B
и D
— на второй). Прямая AC
пересекает первую окружность в точке P
, отличной от A
, а вторую окружность — в точке Q
, отличной от C
. Докажите, что \angle DO_{1}P=\angle BO_{2}Q
.
Решение. Предположим, что прямые AB
и CD
пересекаются в точке O
. Тогда OA=OD
и OB=OC
, поэтому углы при основаниях AD
и BC
равнобедренных треугольников AOD
и BOC
равны, а так как у этих треугольников общий угол при вершине O
, то, например, \angle OAD=\angle OBC
. Значит, AD\parallel BC
.
Если же AB\parallel CD
, то ABCD
— прямоугольник, значит, и в этом случае AD\parallel BC
.
Поскольку PO_{1}D
— центральный угол первой окружности, соответствующий вписанному углу DAP
, CO_{2}Q
— центральный угол второй окружности, соответствующий вписанному углу CO_{2}Q
, а прямые AD
и BC
параллельны, то
\angle DO_{1}P=2\angle DAP=2\angle DAC=2\angle BCA=2\angle BCQ=\angle BO_{2}Q.
Что и требовалось доказать.