2592. Внутри стороны BC
правильного треугольника ABC
взята точка D
. Прямая, проходящая через точку C
и параллельная AD
, пересекает прямую AB
в точке E
. Докажите, что \frac{CE}{CD}\geqslant2\sqrt{3}
.
Решение. Заметим, что отрезок AD
не меньше высоты треугольника ABC
, т. е. AD\geqslant\frac{\sqrt{3}}{2}BC
, значит, AD\cdot BC\geqslant\frac{\sqrt{3}}{2}BC^{2}
.
С другой стороны
BD\cdot CD\leqslant\left(\frac{BD+CD}{2}\right)^{2}=\left(\frac{BC}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}BC^{2}.
Следовательно,
\frac{CE}{CD}=\frac{CE}{AD}\cdot\frac{AD}{CD}=\frac{BC}{BD}\cdot\frac{AD}{CD}=\frac{AD\cdot BC}{BD\cdot CD}\geqslant\frac{\sqrt{3}}{2}BC^{2}\cdot\frac{4}{BC^{2}}=2\sqrt{3}.
Что и требовалось доказать.