2593. Точка M
взята на стороне AC
равностороннего треугольника ABC
, а на продолжении стороны BC
за точку C
отмечена точка N
, причём BM=MN
. Докажите, что AM=CN
.
Решение. Первый способ. Пусть прямая, проведённая через точку M
параллельно BC
, пересекает сторону AB
в точке K
. Тогда \angle BKM=\angle MCN=120^{\circ}
и треугольник AKM
— равносторонний.
Обозначим \angle KMB=\angle CBM=\angle CNM=\alpha
. Тогда
\angle KBM=180^{\circ}-\angle BKM-\angle KMB=180^{\circ}-120^{\circ}-\alpha=60^{\circ}-\alpha.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle NMC=\angle BCM-\angle MNC=60^{\circ}-\alpha,
а так как BM=MN
, то треугольники BKM
и MCN
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AM=KM=CN
.
Второй способ. Обозначим \angle CBM=\angle CNM=\alpha
. Тогда \angle ABM=60^{\circ}-\alpha
и \angle CMN=\angle BCM-\angle CNM=60^{\circ}-\alpha
. Применяя теорему синусов к треугольникам ABM
и CMN
, получим, что
\frac{AM}{\sin\angle ABM}=\frac{BM}{\sin\angle BAM},~\frac{MN}{\sin\angle MCN}=\frac{CN}{\sin\angle CMN},
или
\frac{AM}{\sin(60^{\circ}-\alpha)}=\frac{BM}{\sin60^{\circ}}=\frac{MN}{\sin60^{\circ}}=\frac{MN}{\sin120^{\circ}}=\frac{MN}{\sin\angle MCN}=\frac{CN}{\sin\angle CMN}=\frac{CN}{\sin(60^{\circ}-\alpha)}.
Поэтому \frac{AM}{\sin(60^{\circ}-\alpha)}=\frac{CN}{\sin(60^{\circ}-\alpha)}
. Следовательно, AM=CN
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1993, 8 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 93.16
Источник: Московская математическая регата. — 2018-2019, третий тур, № 2, 8 класс