2594. Точка M
— середина стороны BC
выпуклого четырёхугольника ABCD
. Известно, что \angle AMD=120^{\circ}
. Докажите неравенство AB+\frac{1}{2}BC+CD\gt AD
.
Решение. Пусть B'
— точка, симметричная вершине B
относительно прямой AM
, а C'
— точка симметричная вершине C
относительно прямой DM
. Тогда
\angle B'MC'=180^{\circ}-\angle BMB'-\angle CMC'=180^{\circ}-2\angle AMB-2\angle DMC=
=180^{\circ}-2(180^{\circ}-\angle AMD)=180^{\circ}-2(180^{\circ}-120^{\circ})=60^{\circ},
а так как MB'=MB=MC=MC'
, то треугольник B'MC'
— равносторонний, поэтому B'C'=MB'=MB=\frac{1}{2}BC
. Следовательно,
AB+\frac{1}{2}BC+CD=AB+B'C'+CD\gt AD.
Что и требовалось доказать.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1993, 8 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 93.19
Источник: Журнал «Квант». — 1994, № 1, с. 20, M1413; 1994, № 4, с. 21, M1413
Источник: Задачник «Кванта». — 1994, № 1, M1413