2594. Точка M
— середина стороны BC
выпуклого четырёхугольника ABCD
. Известно, что \angle AMD=120^{\circ}
. Докажите неравенство AB+\frac{1}{2}BC+CD\gt AD
.
Решение. Пусть B'
— точка, симметричная вершине B
относительно прямой AM
, а C'
— точка симметричная вершине C
относительно прямой DM
. Тогда
\angle B'MC'=180^{\circ}-\angle BMB'-\angle CMC'=180^{\circ}-2\angle AMB-2\angle DMC=
=180^{\circ}-2(180^{\circ}-\angle AMD)=180^{\circ}-2(180^{\circ}-120^{\circ})=60^{\circ},
а так как MB'=MB=MC=MC'
, то треугольник B'MC'
— равносторонний, поэтому B'C'=MB'=MB=\frac{1}{2}BC
. Следовательно,
AB+\frac{1}{2}BC+CD=AB+B'C'+CD\gt AD.
Что и требовалось доказать.