2606. Диагонали AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
, площадь которого равна 28, пересекаются в точке O
. Через середины отрезков BO
и DO
проведены прямые, параллельные диагонали AC
. Найдите площадь части четырёхугольника, заключённой между этими прямыми.
Ответ. 21.
Указание. Средняя линия отсекает от треугольника четверть его площади.
Решение. Пусть прямая, проходящая через середину M
отрезка BO
параллельно диагонали AC
, пересекает стороны AB
и BC
четырёхугольника ABCD
в точках F
и G
, а прямая, проходящая через середину N
отрезка DO
параллельно AC
, пересекает стороны AD
и CD
в точках P
и Q
. Из теоремы Фалеса следует, что FG
и PQ
— средние линии треугольников ABC
и ADC
. Поэтому
S_{PFGQ}=S_{ABCD}-S_{\triangle BFG}-S_{\triangle DPQ}=
=S_{ABCD}-\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}-\frac{1}{4}S_{\triangle ADC}=S_{ABCD}-\frac{1}{4}(S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC})=
=S_{ABCD}-\frac{1}{4}S_{ABCD}=\frac{3}{4}S_{ABCD}=\frac{3}{4}\cdot28=21.