2610. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
равны 12 и 18 и пересекаются в точке O
. Найдите стороны четырёхугольника с вершинами в точках пересечения медиан треугольников AOB
, BOC
, COD
и AOD
.
Ответ. 4, 6, 4, 6.
Указание. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон соответственно AB
и BC
; P
и Q
— точки пересечения медиан треугольников соответственно AOB
и BOC
; AC=12
, BD=18
.
Поскольку \frac{OP}{OM}=\frac{OQ}{ON}=\frac{2}{3}
, то треугольники OPQ
и OMN
подобны с коэффициентом \frac{2}{3}
, поэтому PQ=\frac{2}{3}MN
, а так как MN
— средняя линия треугольника ABC
, то MN=\frac{1}{2}AC
. Следовательно,
PQ=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}AC=\frac{1}{3}\cdot12=4.
Аналогично найдём остальные отрезки.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 14.9, с. 111