2613. Медианы BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке M
. Известно, что AM\perp B_{1}C_{1}
. Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный.
Указание. Докажите, что прямая AM
проходит через середину стороны BC
.
Решение. Пусть прямая AM
пересекает сторону BC
в точке A_{1}
. Поскольку медианы треугольника пересекаются в одной точке, AA_{1}
— также медиана треугольника ABC
, а так как B_{1}C_{1}
— средняя линия треугольника ABC
, то BC\parallel B_{1}C_{1}
. Значит, AA_{1}\perp BC
. Поскольку медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.