2615. Окружность радиуса R
, построенная на большем основании AD
трапеции ABCD
как на диаметре, касается меньшего основания BC
в точке C
, а боковой стороны AB
— в точке A
. Найдите диагонали трапеции.
Ответ. R\sqrt{5}
, R\sqrt{2}
.
Указание. Докажите, что трапеция прямоугольная и воспользуйтесь теоремой Пифагора.
Решение. Пусть O
— середина AD
. Тогда O
— центр указанной окружности. Поскольку BC
и BA
— касательные к окружности, то OC\perp BC
и AB\perp AD
. Поэтому трапеция ABCD
— прямоугольная и AB=OC=AO=BC=R
. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников ABC
и ABD
находим, что
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=2R^{2},~BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}=5R^{2}.
Следовательно, AC=R\sqrt{2}
и BD=R\sqrt{5}
.