2618. Дан четырёхугольник ABCD
, в котором BC\parallel AD
. Точки K
и M
— середины сторон CD
и AD
соответственно. Известно, что отрезки AK
и CM
пересекаются на диагонали BD
. Докажите, что ABCD
— параллелограмм.
Указание. Медианы треугольника ACD
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
данного четырёхугольника ABCD
. Поскольку AK
и CM
— медианы треугольника ACD
, а DO
проходит через их точку пересечения, то DO
также медиана треугольника ACD
. Поэтому O
— середина AC
. Из равенства треугольников BOC
и DOA
(по стороне и двум прилежащим к ней углам) следует равенство отрезков BO
и DO
, значит, диагонали четырёхугольника ABCD
точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, ABCD
— параллелограмм.