2619. Одна из двух прямых, проходящих через точку M
, касается окружности в точке C
, а вторая пересекает эту окружность в точках A
и B
, причём A
— середина отрезка BM
. Известно, что MC=2
и \angle BMC=45^{\circ}
. Найдите радиус окружности.
Ответ. 1.
Указание. Докажите, что треугольник BMC
прямоугольный.
Решение. Обозначим AM=AB=x
. По теореме о касательной и секущей BM\cdot AM=MC^{2}
, или 2x^{2}=4
, откуда x=\sqrt{2}
.
В треугольнике BMC
известны стороны MC=2
, BM=2x=2\sqrt{2}
и угол между ними: \angle BMC=45^{\circ}
. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетом, равным 2, и острым углом, равным 45^{\circ}
. Его гипотенуза равна 2\sqrt{2}
, значит, этот треугольник равен треугольнику BMC
по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, треугольник BMC
прямоугольный, \angle BCM=90^{\circ}
. Тогда BC
— диаметр окружности и BC=MC=2
.