2620. Прямые, касающиеся окружности в точках A
и B
, пересекаются в точке M
, а прямые, касающиеся той же окружности в точках C
и D
, пересекаются в точке N
, причём NC\perp MA
и ND\perp MB
. Докажите, что AB\perp CD
или AB\parallel CD
.
Указание. Рассмотрите поворот относительно центра окружности, при котором точка A
переходит в точку C
.
Решение. Пусть точки C
и D
лежат по разные стороны от прямой AB
. Рассмотрим поворот относительно центра окружности, при котором точка A
переходит в точку C
. Поскольку NC\perp MA
и ND\perp MB
, то прямая AM
при этом повороте переходит в прямую BN
, а прямая MB
— в прямую ND
, а так как точка B
переходит в точку, лежащую и на окружности, и на прямой ND
, то точка B
переходит в точку D
. Значит, при этом повороте отрезок AB
переходит в отрезок CD
. Следовательно, AB\perp CD
.
Если точки C
и D
лежат по одну сторону от прямой AB
, то аналогично докажем, что AB\parallel CD
.