2623. Стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен 120^{\circ}
. Окружность с центром на третьей стороне треугольника касается двух других сторон. Вторая окружность касается этих сторон и первой окружности. Найдите радиусы окружностей.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{3}
, \frac{\sqrt{3}(7-4\sqrt{3})}{3}
.
Указание. Для нахождения радиуса первой окружности выразите двумя способами площадь треугольника ABC
.
Решение. Пусть окружность радиуса R
с центром O
на стороне BC
треугольника ABC
касается сторон AB
и AC
в точках M
и N
соответственно, причём AB=1
, AC=2
и \angle BAC=120^{\circ}
. Обозначим через S
площадь треугольника ABC
. Тогда
S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2},
S=\frac{1}{2}AB\cdot R+\frac{1}{2}AC\cdot R=\frac{1}{2}(AB+AC)R=\frac{3}{2}R.
Из уравнения \frac{3}{2}R=\frac{\sqrt{3}}{2}
находим, что R=\frac{\sqrt{3}}{3}
.
Пусть Q
— центр второй окружности радиуса r
. Точки O
и Q
лежат на биссектрисе угла BAC
. Опустим перпендикуляр QF
из центра второй окружности на радиус ON
первой. В прямоугольном треугольнике OQF
известно, что
OQ=R+r,~OF=R-r,~\angle OQF=60^{\circ}.
Поэтому R-r=(R+r)\sin60^{\circ}
. Отсюда находим, что
r=\frac{(2-\sqrt{3})R}{2+\sqrt{3}}=(7-4\sqrt{3})R=\frac{\sqrt{3}(7-4\sqrt{3})}{3}.