2625. AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
. Докажите, что AB^{2}_{1}+BC^{2}_{1}+CA^{2}_{1}=AC^{2}_{1}+BA^{2}_{1}+CB^{2}_{1}
.
Указание. Примените теорему Пифагора.
Решение. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников AA_{1}C
и AA_{1}B
находим, что
AC^{2}-CA^{2}_{1}=AB^{2}-BA^{2}_{1}.
Аналогично
AB^{2}-AB^{2}_{1}=BC^{2}-CB^{2}_{1},~BC^{2}-BC^{2}_{1}=AC^{2}-AC^{2}_{1}.
Сложив почленно эти три равенства, получим, что
AB^{2}_{1}+BC^{2}_{1}+CA^{2}_{1}=AC^{2}_{1}+BA^{2}_{1}+CB^{2}_{1}.