2626. Биссектрисы BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке O
. Известно, что AO\perp B_{1}C_{1}
. Докажите, что треугольник ABC
— равнобедренный.
Указание. Докажите, что внешние углы AC_{1}C
и AB_{1}B
треугольников BCC_{1}
и BCB_{1}
равны между собой.
Решение. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, поэтому луч AO
— биссектриса угла BAC
. Пусть отрезки AO
и B_{1}C_{1}
пересекаются в точке K
. В треугольнике AB_{1}C_{1}
биссектриса AK
является высотой, поэтому треугольник AB_{1}C_{1}
— равнобедренный. Значит, AO
— серединный перпендикуляр к отрезку B_{1}C_{1}
. Следовательно, треугольник OB_{1}C_{1}
— также равнобедренный, OB_{1}=OC_{1}
. Тогда треугольники AOC_{1}
и AOB_{1}
равны по трём сторонам, поэтому \angle AC_{1}C=\angle AB_{1}B
.
Обозначим \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. Так как равные углы AC_{1}C
и AB_{1}B
— внешние углы треугольников BCC_{1}
и BCB_{1}
, то
\beta+\frac{\gamma}{2}=\angle AC_{1}C=\angle AB_{1}B=\gamma+\frac{\beta}{2},
откуда \beta=\gamma
. Следовательно, треугольник ABC
— равнобедренный.