2627. Теорема о произведениях отрезков пересекающихся хорд. Докажите, что произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны между собой.
Указание. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.
Решение. Пусть хорды AB
и CD
окружности пересекаются в точке M
. Треугольники AMC
и DMB
подобны по двум углам (углы BAC
и BDC
равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), поэтому
\frac{AM}{DM}=\frac{CM}{BM}~\Rightarrow~AM\cdot BM=CM\cdot DM.
