2635. Точка M
лежит внутри окружности радиуса R
и удалена от центра на расстояние d
. Докажите, что для любой хорды AB
этой окружности, проходящей через точку M
, произведение AM\cdot BM
одно и то же. Чему оно равно?
Ответ. R^{2}-d^{2}
.
Указание. Проведите диаметр через точку M
и примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.
Решение. Пусть O
— центр окружности, R
— радиус, PQ
— диаметр, проходящий через точку M
(M
между O
и P
). По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд для любой хорды AB
, проходящей через точку M
,
AM\cdot BM=PM\cdot QM=(OP-OM)(OQ+OM)=(R-d)(R+d)=R^{2}-d^{2}.
