2636. Точка M
лежит вне окружности радиуса R
и удалена от центра на расстояние d
. Докажите, что для любой прямой, проходящей через точку M
и пересекающей окружность в точках A
и B
, произведение MA\cdot MB
одно и то же. Чему оно равно?
Ответ. d^{2}-R^{2}
.
Указание. Из точки M
проведите касательную к окружности и примените теорему о касательной и секущей.
Решение. Пусть точка A
лежит между M
и B
. Через точку M
проведём прямую, касающуюся окружности в точке C
. Тогда угол ACM
равен половине дуги AC
, не содержащей точку B
(угол между касательной и хордой), а так как вписанный угол ABC
также равен половине этой дуги, то \angle ACM=\angle CBM
, значит, треугольник ACM
подобен треугольнику CBM
по двум углам (угол при вершине M
— общий для этих треугольников). Следовательно, \frac{MC}{MB}=\frac{MA}{MC}
, откуда MA\cdot MB=MC^{2}
.
Пусть O
— центр окружности. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OCM
находим, что
MC^{2}=MO^{2}-OC^{2}=d^{2}-R^{2}.
Следовательно,
MA\cdot MB=d^{2}-R^{2}.
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — с. 128-130
Источник: Яглом И. М. Геометрические преобразования. — Т. 2: Линейные и круговые преобразования. — М.: ГИТТЛ, 1956. — с. 222-223
Источник: Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — № 273, с. 26
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 7, с. 5
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 12.6, с. 93
Источник: Калинин А. Ю., Терёшин Д. А. Геометрия. 10—11 классы. — М.: МЦНМО, 2011. — с. 591