2636. Точка M
лежит вне окружности радиуса R
и удалена от центра на расстояние d
. Докажите, что для любой прямой, проходящей через точку M
и пересекающей окружность в точках A
и B
, произведение MA\cdot MB
одно и то же. Чему оно равно?
Ответ. d^{2}-R^{2}
.
Указание. Из точки M
проведите касательную к окружности и примените теорему о касательной и секущей.
Решение. Пусть точка A
лежит между M
и B
. Через точку M
проведём прямую, касающуюся окружности в точке C
. Тогда угол ACM
равен половине дуги AC
, не содержащей точку B
(угол между касательной и хордой), а так как вписанный угол ABC
также равен половине этой дуги, то \angle ACM=\angle CBM
, значит, треугольник ACM
подобен треугольнику CBM
по двум углам (угол при вершине M
— общий для этих треугольников). Следовательно, \frac{MC}{MB}=\frac{MA}{MC}
, откуда MA\cdot MB=MC^{2}
.
Пусть O
— центр окружности. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OCM
находим, что
MC^{2}=MO^{2}-OC^{2}=d^{2}-R^{2}.
Следовательно,
MA\cdot MB=d^{2}-R^{2}.