2638. Пересекающиеся хорды окружности делятся точкой пересечения в одном и том же отношении. Докажите, что эти хорды равны между собой.
Указание. Примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.
Решение. Пусть хорды AB
и CD
пересекаются в точке M
, причём \frac{AM}{BM}=\frac{CM}{DM}
. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд AM\cdot BM=CM\cdot DM
. Перемножив почленно эти равенства, получим, что AM^2=CM^2
. Значит, AM=CM
. Аналогично докажем, что BM=DM
. Следовательно,
AB=AM+BM=CM+DM=CD.