2641. Точка O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Известно, что BC=a
, AC=b
, \angle AOB=120^{\circ}
. Найдите сторону AB
.
Ответ. \sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}
.
Указание. \angle AOB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C
.
Решение. Поскольку \angle AOB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C
, то
\angle C=2\angle AOB-180^{\circ}=240^{\circ}-180^{\circ}=60^{\circ}.
По теореме косинусов
AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}-2BC\cdot AC\cos\angle C=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\frac{1}{2}=a^{2}+b^{2}-ab.
Следовательно,
AB=\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}.