2642. Дан равносторонний треугольник со стороной a
. Найдите отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 2:1
.
Ответ. \frac{a\sqrt{7}}{3}
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой косинусов.
Решение. Пусть точка M
лежит на стороне BC
равностороннего треугольника ABC
со стороной a
, причём BM:CM=2:1
. Тогда CM=\frac{1}{3}a
. По теореме косинусов из треугольника ACM
находим, что
AM^{2}=AC^{2}+CM^{2}-2AC\cdot CM\cos60^{\circ}=a^{2}+\frac{1}{9}a^{2}-\frac{1}{3}a^{2}=\frac{7}{9}a^{2}.
Следовательно, AM=\frac{a\sqrt{7}}{3}
.