2645. Одна из сторон параллелограмма равна 10, а диагонали равны 20 и 24. Найдите косинус острого угла между диагоналями.
Ответ. \frac{3}{5}
.
Указание. Пусть диагонали AC
и BD
параллелограмма ABCD
пересекаются в точке O
. Тогда треугольник ABO
— равнобедренный.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
параллелограмма ABCD
пересекаются в точке O
, причём AC=20
, BD=24
, AB=CD=10
. Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то AO=10
, BO=12
. Значит, треугольник ABO
— равнобедренный. Пусть AH
— его высота. Тогда OH=\frac{1}{2}BO=6
. Из прямоугольного треугольника AOH
находим, что
\cos\angle AOB=\frac{OH}{AO}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.