2648. На продолжении боковой стороны AB
равнобедренного треугольника ABC
за вершину A
взята точка D
, причём AD=2AB
. Известно, что \angle BAC=120^{\circ}
. Докажите, что треугольник BDC
— равнобедренный.
Указание. Докажите, что треугольник ADC
прямоугольный или вычислите BC
и CD
с помощью теоремы косинусов.
Решение. Обозначим AB=AC=a
. Тогда BC=a\sqrt{3}
. В треугольнике ADC
угол между сторонами AD=2a
и AC=a
равен 60^{\circ}
. Значит, \angle ACD=90^{\circ}
. Тогда
\angle ADC=30^{\circ}=\angle ABC.
Следовательно, DC=BC
.